📍 定比分点 坐标公式 · 内分 · 外分
点P将线段AB分成定比 λ = AP : PB，则P为定比分点。在向量与坐标几何中广泛应用。
📐 内分点 λ>0 ↔ 外分点 λ<0
📌 1. 定义与坐标公式
已知两点 A(x₁, y₁) ，B(x₂, y₂) ，点 P(x, y) 分有向线段 AB 的比为 λ = AP / PB（λ ≠ -1）。
y = (y₁ + λ y₂) / (1 + λ)
内分点：P 在线段 AB 上，λ > 0；外分点：P 在 AB 或 BA 延长线上，λ < 0（且 λ ≠ -1）。当 λ = 1 时，P 为中点。
🧭 2. 向量定比分点
从向量视角：OP = (OA + λ OB) / (1 + λ) （O 为原点）。分点坐标本质是加权平均，权重为 1 与 λ。
当 λ = m/n 时，P 分线段 AB 为 m:n 两部分（内分）。记忆口诀：“λ 比谁，谁乘 λ”。
💡 常见设λ法 ：若 AP:PB = 2:3，则 λ = 2/3；若 AP:PB = 3:1，则 λ = 3。
✏️ 3. 典型例题
例1：已知 A(1,2)，B(7,8)，点 P 分 AB 的比为 2:1，求 P 坐标。
解：λ = 2/1 = 2，代入公式：x = (1+2·7)/(1+2) = 15/3 = 5；y = (2+2·8)/(1+2)=18/3=6。∴ P(5,6)。
例2（外分点）：A(0,0)，B(6,0)，P 在 AB 延长线上，且 AP:PB = 3:1，求 P。
解：外分时 λ = -3（因为方向相反），x = (0 + (-3)·6)/(1-3) = -18/(-2)=9；y=0。P(9,0)。
❓ 4. 常见问题解答
不可以。λ = -1 时分母为 0，此时点 P 不存在（或说分点位于无穷远）。实际意义为 AP = -PB，即 P 为 AB 中点？不对，此时无解。
内分：P 在线段内部，AP 与 PB 同向，λ>0。外分：P 在延长线上，AP 与 PB 方向相反，λ<0。记忆：“内正外负”。
中点 λ=1，公式简化为 x=(x₁+x₂)/2，y=(y₁+y₂)/2。定比分点是中点公式的推广。
当然！空间直角坐标系下，分点坐标同样适用：z 坐标公式同理，z = (z₁+λ z₂)/(1+λ)。
🧩 5. 拓展 · 重心与定比分点
三角形重心将中线分成 2:1 的比（顶点到重心:重心到对边中点 = 2:1）。利用定比分点可快速求重心坐标：
也可视作 A 与 BC 中点 M 的定比分点（λ=2）。
📌 调和点列 与定比分点也有关联，涉及交比概念。
⚡ 6. 快速记忆与技巧
- “起1终λ”：起点坐标乘1，终点坐标乘λ，除以(1+λ)。
- 遇到比例 m:n，令 λ = m/n（AP:PB=m:n）。
- 外分点注意 λ 为负，计算时符号代入准确。
- 若求分点坐标，也可用向量线性运算：P = (A·n + B·m)/(m+n) （内分）。
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✏️ 练习：已知 A(2,-1), B(-4,5)，点 P 内分 AB 且 AP:PB=1:2，求 P 坐标。（答案：P(0,1)）